平成25年度都立日比谷高等学校自校作成問題（都立日比谷高等学校作成）第3問
２次関数と平面図形の複合問題です。入試問題ではよくみるパターンの問題です。２次関数、平面図形の基本をしっかり身に付けた上でそれらを複合的に処理する。物事を多面的に見る力が必要とされる問題です。
それでは問１から見ていきましょう。
これはサービス問題ですね。この入試を受けて合格する子も不合格になる子もみんな解ける問題です。差がつかない問題なので「落とせない問題」でもあります。しっかり検算して確実に取りたいですね。
続いて問２です。
点の座標を文字でおいてすすめる問題、平成24年度の都立入試の共通問題の方でも出題されていましたね。（参照：平成24年度都立高校入試問題（東京都教育委員会作成）第3問）点Ｄの座標を文字で表せば、点Ｃの座標もｄを使って表せる。点Ｃは直線上の点なので直線の式を満たす。式に代入して方程式を解くと解が二つ出てきますから、問題文（点Ｃのｘ座標は正の数）をしっかり意識して、１つの解を導きます。
あとは正方形なのでＥＤ＝１、求める交点のｘ座標がわかるので、さらに直線の式からｙ座標も求める、というわけです。
さて別解ですが、この解答と別解含めた３つの解法はどれで解いても手間も速さも変わりません。その時最初に思いついた解法でいいと思います。生徒に指導する際も、３つのどれかで解けていたら、あえて他の２つは紹介するまでもないかなと思います。
では、最後に問３です。
難しそうに見えますね。これも座標を文字で置くことになりそうです。なので後々の為に、まず各辺の比をわかるところまで明らかにしておこうと思います。
正方形の各辺が等しいのはすぐわかるとして、ＧＤ，ＣＤというのが直線ｍの傾きを調べるときに見る辺になってますよね。（ｙの増加量/ｘの増加量）これからＧＤ：ＣＤ＝３：２がわかれば、解答の一行目までは大丈夫ですね。これで座標を文字で置くことがだいぶ楽になりました。面積比からＧＥ：ＧＨの比までわかれば全ての点が文字で表せますね。
解答のように点Ｅや点Ｃの座標を文字で表し、それぞれが乗っているグラフの式に代入すれば、ｄを含んだ式が２つ出てくるので、そのｄを消去して答えとなります。
答案には書いていませんが、ｄなどの第三の文字を登場させない別解も紹介しておきましょう。
答案に書いた辺の比までは同様に求めます。次にＢＧをＧの方に延長してｘ軸と交わった点をＪ、また直線ｍの切片を点Ｋとします。ＪＯ：ＯＫ＝３：２（直線ｍの傾き）なのでＪＯ＝3/2b（２分の３ｂ）になります。さらにＪＨ：ＨＧ＝３：２（相似）なのでＪＨ＝ＨＩ＝ＩＯ＝1/2bになります。ＥＩも比から1/3bとわかるので、点ＥがＥ（-1/2b,1/3b）と表せます。これが放物線上にあることから式に代入して変形すればa,bだけの式で答えまで辿り着けます。
＜総評＞この問題も問３はなかなか手強いですね。問１、２をなるべく短時間で終わらせ、問３にどれだけ時間をまわせるかがキーポイントになりそうです。