平成24年度都立高校入試問題（東京都教育委員会作成）第3問
まずは問1です。この問題を解くには中学2年で学習する「一次関数」の知識が必要です。直線上の点のx座標とy座標どちらか一方がわかっていれば、もう一方は直線の式に代入することで求めることができます。そうして点Ｐの座標がはっきりしたら、通る2点がわかったので、基本的には連立方程式を立てて式を求めます。しかし、この問題については別解のようにすばやく切片に気付き傾きを求めるほうが少しだけ速いでしょう。
生徒に指導する際もこれくらいの速さの違いならどちらで解くべきという指導はしません。まずは基本に忠実に「連立方程式を立てて式を求める」ことが最低限できるように指導すべきでしょう。
なお、問題文に書かれている図に点Ｐの座標（２，１０）を書き込んでいますが、実際あるべき位置からは少しずれていますよね。わざわざ正しい位置に点Ｐを書き直しても図が見にくくなるくらいで良い事はないので、これくらいの「ずれ」は気にせず考え続けられる寛容さと柔軟さも必要です。
では問２にいきましょう。
いきなり直線上の点Ｐを文字で表していますが、これが苦手な生徒も多いですね。やっていることは整数など具体的な数の時と変わらないのですが、文字になると途端にできなくなる生徒がいます。そういう生徒にはオリジナルプリントを作成し、まとめて練習することで克服してもらっています。
さて、次に「線分ＡＰがｘ軸により２等分される」という状況を図１の中で点Ｐを動かしながらイメージします。もともと印刷されている点Ｐの位置ではとても２等分にはなっていないですね。ってことは、もう少し下の方かな。と移動させてみてそれらしい位置に点Ｐを書いてみます。２等分なので長さが等しい記号も書いてみます。この時点で解答にあるように「線分ＡＰの中点がｘ軸上」にあればいいのか、と気づければ完璧です。中点の求め方覚えていますか？「２点の座標を足して２で割る」平均と同じ求め方ですね。これで式を立て点Ｐの座標がわかりました。
あとはＢＰとＰＣの長さを三平方の定理で求めて。。。とかやるのはちょっと真面目過ぎです。この問題なら１：１：√２の直角三角形になっているので、それほど面倒ではないですが、そうでなかったら結構な手間です。ここは解答のように「平行線と線分の比」を使って楽に答えまで辿り着きたいところですね。
上の解答がおそらく最も一般的な解答になるかと思いますが、生徒の中には図形がとても得意で図形的にどんどん考えていく子もいます。その一つが別解に示した解法で、２つの三角形が合同になるときが「線分ＡＰがｘ軸により２等分される」ときだと見抜いた例です。点Ｐを文字で表すまでもなく、点Ｐのｙ座標が４だとわかり、そこからはあっという間に答えまで辿り着きます。すぐに気づければとても速いですが、オーソドックスなのは最初の解法です。また図形的に進めるのが得意な生徒に多いのが「感覚で解いてしまう」という点で、時に鋭い発想を発揮したかと思えば、根拠なき予想で「こことここは同じ長さだ」などと誤解したまま進めてしまうこともあります。ですので指導する側としては常に生徒の思考の先回りをし、「その読みは正しい」「それは違う」「なぜ正しい（違う）と思う？」などの言葉で生徒の「読み」の正答率を高いものにしてあげる必要があります。
それでは最後に問３です。
「グラフの中の図形の面積」入試では非常によく出る問題ですね。解答を見ていくと最初に直線の式を求めていますが、実際に解いている時は「点Ｐの座標を文字で表そう」⇒「点Ｑも表そう」⇒「それなら直線ＡＣの式も必要だ」という流れです。そうして問２と同様に文字で表して式を立てられれば、あと少しです。立てた式は２次方程式になるので解も２つ出てきました。せっかちな子はこれで「答えが出た！」と点Ｐの座標を２つ（９，３）（１５、－３）として減点されてしまいます。
最後に「出てきた答えが問題の解答として適切か」を確認する。これはとても大事なことです。この問題についても最初に問題文の中で「点Ｐのｘ座標は１２より小さい正の数」であると書かれています。要するに点Ｐは、点Ｂと点Ｃの間にないといけないわけですね。ですので解答としては（９，３）のみを採用します。
次にこの問題の別解を見てみましょう。これも図形が得意な生徒が考えつきそうな解答です。２つの三角形の相似を見抜き、面積比から相似比を求めＣＥの長さを求めています。（ＣＥとＣＯが二つの三角形の高さとして対応しているのがわかりますか？）ＣＥが３なので点Ｃからｘ軸上で３だけ戻ったところが点Ｐのｘ座標になりますよね。これで点Ｐの座標が求められるというわけです。
＜総評＞どうでしたか。初回なので、画像の扱いや解説の書き方、補足文の書き方などまだまだ手探りな状態ですが、このような感じで入試問題を細かく解説していきたいと思います。更新頻度は平均月１回程度を目標にしていますが、どうなるかはまだわかりません。結構、時間がかかるんですよね。また入試問題以外にも息抜きとなるような問題も掲載していこうと思っています。楽しみにしていてください。