平成31年度都立日比谷高等学校自校作成問題（都立日比谷高等学校作成）第4問
空間図形の問題です。これも問2が例年よりやや難しかったでしょうか。
それでは問1から見ていきましょう。
これは図を取り出して長さを記入していけば答えまで辿り着けますね。実際の∠DPQはもっと大きい角度ですが、その辺りは気にせず三角形を取り出して長さを書き込む方が速いです。良く見る問題なのでこれは落とせない問題です。
それでは次に問2です。
これも1つ前の問題の問2と同様どのように書いていけば良いか迷った生徒が多かったかも知れません。APとBQが同じ長さになるような気はするけど、それをどう書くか。模範解答はかなり丁寧に三角形の合同の証明まで書いていますが、これほど丁寧でなくても、AP＝BQとなる根拠を書く必要はあると思います。一応、模範解答とは違うアプローチで書いてみましたが、どうでしょうか。参考にしてみて下さい。
それでは最後に問3です。
これも図形が得意な生徒だったらこう解くかなという解答を作ってみました。実際は2つの立体の体積を求めてしまってもそこまで難しくないので、それでも大丈夫です。立体A-DPQはP-ABDと考えれば簡単に体積が求められますし、立体G-DPQは立方体から四角すいG-BPEFを2個分とG-BCDとP-ABDを引いたものなので、これもそこまで手間ではないでしょう。
上の解答の考え方はこうです。底面積の△DPQを共有しているので、高さの比が面積比だ⇒高さの比は四角形AEGCを取り出して考えることができそうだ、という流れで図を取り出し、相似などを利用して対角線AGがどのような比に分かれているかを考えました。AGと交わっている線分が△DPQを表しています。この線分とAGは必ずしも垂直になっている必要はなく、垂直でなかったとしたらAとGから垂線を下ろして考えるだけです。それでも高さの比は同じ5:11になっているので垂直でもそうでなくても同じなのです。簡単な図とこの文章だけではわかりにくいかも知れませんが、空間図形を想像しながら考えてみて下さい。
＜総評＞例年に比べると問２がやや難しく問３がやや簡単な印象でした。