平成31年度都立日比谷高等学校自校作成問題（都立日比谷高等学校作成）第2問
関数と図形の複合問題です。問3は例年よりやや難しかったでしょうか。
それでは問1から見ていきましょう。
これは普通に直線ABと直線ACの式を考えてもいいのですが、せっかくなので、少し難しい問題集などに載っている公式を紹介しておきましょう。放物線上の2点を結ぶ直線の式を考える機会が多いので、一般化しただけの公式ですが、覚えておくと変化の割合などにも応用できて便利なので、公式をたくさん覚えることが苦ではない方は覚えておくと良いと思います。難関校を目指す生徒なら全員覚えるべきという訳でもなく、知らないまま難関校に合格する生徒もいると思います。時間がある時にこの公式自体を導いてみるのも面白いと思います。問題としての難易度は低いので落とせない問題です。
それでは次に問2です。
これも「等積変形といえば平行線」というくらいメジャーな解法なので、日比谷を目指す生徒ならお馴染みの解法になると思います。座標を文字で置いていく問題も頻出なので、そこまで迷う要素もないかも知れませんね。ここもやはり取っておきたい問題です。
それでは最後に問3です。
上の解答には点の説明が抜けているので、補足しておくと点Bを通りｙ軸に平行な直線と線分DCおよび線分AEとの交点をそれぞれ点F、Hまた2点AとFの中点をMとしています。図に書き込みながら考えてみて下さい。各座標の値からADの長さが3aとわかるので面積を具体的に考えてみます。四角形ADCEは15aで、四角形ADQPと四角形PQCEの面積比は２：３です。つまりそれぞれの面積は6aと9aです。ここで、四角形HFCEの面積を考えると縦3aで横1なので面積は3a。すると四角形ADQPと四角形PQFHの面積は等しくなります。つまり直線mは四角形ADFHの面積を2等分する直線ということです。長方形の面積の2等分は平行四辺形と同じく対角線の交点を通るように引けば良いので、上のような流れとなります。
この解法以外にも通る点と傾きから直線mの式を求めて、そこから点Pの座標を表して進めていく方法もあります。2つの台形の面積比が２：３なので、上底＋下底の比も２：３であることを考え、AP+DQが４になることを利用すると式が立てられます。点Qの座標も文字のまま求めてしまってもいいですが、傾きが２であることを考えると、DQはAP＋（ADの半分）として考えることもできます。参考までにこちらの解法でも解いてみて下さいね。
＜総評＞問３がやや難しい印象ですが、その分問２が考えやすいので、トータルでの難易度は例年並みかと思います。