平成27年度都立西高等学校グループ作成問題（作成：進学指導重点校グループ作成委員会）第3問
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平面図形の問題です。比較的、解きやすい問題が多いので、全問正解を目指したいところですね。
それでは問1から見ていきましょう。
これは図にどんどん書き込んでいけば、難なく答えまで辿り着いてしまう問題です。まず、条件の∠CBFを埋めれば、平行線の錯角で∠AFB、さらに直角二等辺三角形に気付けば∠ABF、直径に対する円周角で∠BFEが90度、すると残りの∠DFEが45度、そしてこちらも直角二等辺三角形。
このように順に埋めていけば、直角二等辺三角形に気付き、辺の長さもわかるので、面積も求められますね。ここは落とせない問題でしょう。
次に問2です。
証明問題は難関校としては簡単な問題だったので省略します。学校発表の解答で確認してください。一応、別解をあげておくと、GとEを結び、まず△BFEと△EGBの合同を証明、次に△EGBと△BCEの合同を証明することでも△BCEと△BFEの合同を示すことはできますね。
続いて（２）ですが、図を眺めて長さを書き込んでいっても手詰まりになるかも知れません。そういう時に、覚えておいて欲しいのが「辺の長さを文字で置く」という手法です。求める線分CEの長さをｘとすると、（１）で合同を示したので、FEもｘですね。さらにDEは（6-x）と表せます。
また、BF=BC=10なので、△ABFにおいて三平方の定理よりAF=8。そこからFD=2もわかります。ここで△FEDが直角三角形であることに注目すれば、三平方の定理が成り立つはずで、解答のような式が立ち、答えが導かれます。このように関係式を作って答えを求める問題もよく出題されるので、覚えておくとよいでしょう。
＜総評＞難関である西高校を目指すなら、この問題は全問正解したいところです。
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