平成27年度都立日比谷高等学校グループ作成問題（作成：進学指導重点校グループ作成委員会）第4問
空間図形の問題です。問3はこの年の問題で一番難しいかも知れないので、まずは問2までを正解したいところですね。
それでは問1から見ていきましょう。
日比谷ですから、ここは落とせない問題です。正三角形の面積も進学塾ではこの求め方を教えているところが多いと思います。あとはCFを結んで面積比を考えていけば難しくないですね。
次に問2です。
90度と言われたら「三平方の定理が成り立つな」とすぐに思いつくようにしましょう。方針さえ決まれば、あとはどんどん計算するだけなので、そこまで難しくありません。BFの長さの求め方は解答に示した手順が一番速そうですが、Fから底面に垂線を下ろして考えても大丈夫です。
BPやPFの長さをｘを使って表す流れも日比谷を目指す生徒からしたら、そこまで難しく感じないと思います。計算も比較的簡単なので、しっかり正解まで辿り着きたいところです。「PはA・Cのいずれにも一致しない」ことから考えているｘの定義域も見落とさないで下さいね。
それでは最後に問3です。
さあ、式だけだとシンプルですが、この問題が一番わかりにくいかと思います。ポイントは同じ体積のまま求めやすい立体に置き換えることです。
具体的な例を挙げてみます。
簡単に考える為に一度点Pを無視してみます。F-BCEという立体だったら体積は簡単に求められますね。さらに、点Fを点F'に移動しても立体の高さは変わらないので、F-BCEとF'-BCEは同じ体積となります。
点Fを通り、底面BCDEに平行な面は点F'を通るという事を意識することがとても大事です。ここまでが理解できたら少し難しくします。まず求める立体の底面BPEを、それを含むもっと大きな面で捉えましょう。
下の図の左側を見て下さい。
立体の切り口の問題に慣れている必要がありますが、元の正四角すいを3点B、P、Eを通る平面で切ると切り口はBPP'E（PC＝P'D）となります。ここまでいいですか？それを踏まえた上で、点Fを通り、底面BPEに平行な面というものをイメージして下さい。
その面はやはり点F'を通りますよね。ということは、今回求める立体F-BPEの体積は上の図の右側の立体F'-BPEの体積と等しいとわかります。そこまでわかれば、ほとんどの生徒は体積を求められると思います。
解答の式を説明すると、まず点Aから底面に下ろした垂線の長さは△ABDが直角二等辺三角形になっていることを見抜けば、BDの半分なので４√２ですね。F'から底面に下ろした垂線はその半分なので２√２、これでまずF'-BCDEを求めて２分の１を掛けてF'-BCE、さらにPC＝１から、P-BCEの高さはF'-BCEの４分の１なので、それを除いたF'-BPEは４分の３倍ということです。
理解さえできれば、計算は簡単なものですが、なかなか難しい問題だと感じた生徒も多いことだと思います。
＜総評＞最後の体積はやはり難しいでしょう。その他の問題はトップレベルの高校の問題としては標準的なので、まずはそれらを手堅く取れるように頑張りましょう。