平成26年度都立日比谷高等学校グループ作成問題（作成：進学指導重点校グループ作成委員会）第2問
関数と図形の複合問題です。やや例年より難易度が高いでしょうか。素早く解ける解法に気付かなくて若干遠回りをしても、そこまで致命的な差にはならないのが良問であり、例年よく見る問題なのですが、今回はその差が少し大きいような気がします。
それでは問1から見ていきましょう。
まずは図に分かっている情報を書き込んで下さい。するとＡＢとＢＣの長さがともに８であると気付きます。底辺が同じ長さなら、面積比はそのまま高さの比になるので、図のように点ＰからＡＢ、ＢＣへ下ろした垂線の長さの比が３：８になることがわかると思います。
これを踏まえた上で、直線ＢＰの式を求めようと考えてみると、傾きはこの３：８がそのまま使えますよね。xの増加量とyの増加量の比になっているので、傾きは3/8だとすぐに気付けば簡単な問題になります。
もし、傾きがすぐに求められることに気付かなくて点Ｐの座標を文字で置いてしまったら、答えは出ますがかなりの時間をロスしてしまいます。余裕のある方は点Ｐの座標を文字で置いて解いてみると実感できると思います。
次に問2の（１）です。
さて「傾きが2倍」です。どう扱いましょうか。どこかの点を文字で表して傾きを２つ求めて、一方を2倍して等号で結ぶ。もちろんその解法で問題ないですが、基本に戻って傾きの取り方を考えると、上のような解法になります。
まず点Ｑを文字で表した訳ですが、求めるのは点Ｒの座標なのになぜ点Ｑなのか。これは以前にもお話ししたことがありますが、点Ｒのx座標が負になるのに文字で置くと、一見正の数のように見えてしまい無駄に注意力を消費してしまうのを避けるためです。
もちろん、「そんなの全く気にせずに答えまで出せます」と言うなら点Ｒを文字で置けばいいのですが、そういう生徒ばかりではないのでこういう解法も紹介している次第です。
ＲＱ＝ＱＥのところは大丈夫ですか？直線nの傾きはＤＥ／ＲＥ、直線mの傾きはＤＥ／ＱＥと分子が同じなので、分母が2倍になっていれば、傾きは半分になりますよね。
この問題も傾きを実際に文字で表していると時間がかかってしまうので、ＲＱ＝ＱＥに気付けるかどうかというのは大きなポイントになりそうです。
それでは次に問2の（２）です。
図を見て下さい。まず２つの三角形ですが、そのままの位置だと面積比を考えにくいです。考えにくいな～と思いながら見ていると、ＡＤとＲＱが平行になっていることに気付いたので△ＲＤＡを△ＱＤＡに移動しました。
これで一気に２つの三角形が見やすくなりました。あとは座標を文字で置いて方程式を立てるだけですが、学校発表の解答では文字は1文字だけにしてすすめていますね。どちらも大差なく同じような式が出てくるので、好きな方で大丈夫です。
ただ、文字をたくさん使う事にビビってはダメですよ。文字は少ない方が簡単に感じるかも知れませんが、実は文字は使いたいだけ使った方が式は立てやすいんです。2文字使ったら2元連立、3文字使ったら3元連立の方程式を解くだけです。
リンゴの個数とみかんの個数（合計10個）を求める文章題を見たらx、yの2文字で置きますよね？xだけでx個と（10-x）個と置いても同じですが、2文字置いた方が式が見やすいし立てやすい。そういうことなんです。このあたりは高校数学になるとさらに実感するかも知れないですね。
＜総評＞気付けばすぐに解ける、しかし気付かないととても時間がかかる。この問題は手強く感じた生徒が多かったのではないでしょうか。