平成22年度都立日比谷高等学校自校作成問題（都立日比谷高等学校作成）第4問
空間図形の問題です。最短距離・面積・体積とスタンダードな出題内容ですが、最後の体積は捉えづらくてミスをしてしまう受験生も多かったかも知れませんね。
それでは問１から見ていきましょう。
最短距離は「まっすぐ」です。なので空間図形の場合は展開図のように考えます。解答のような図が描ければ簡単ですね。これは王道の解き方なので必ず身に付けておきたい解法です。なお、60、40をそのまま三平方の定理で利用すると数が大きくなり面倒なので、同じ比のまま右の図のように小さくして考えるとミスも減りますよ。
こういう工夫はテストではとても重要ですし、「何か工夫できないかな」という目で物事を見る習慣を付けておくと知識や興味、思考力がどんどん深まると思います。
では次に問２です。
辺ＢＦの中点をＬとすると、△ＲＬＰは直角三角形になるので、解答のような流れになるのがわかると思います。学校発表の解答とはＰＲの長さを出す過程が異なりますが、どちらでも問題ありません。
なお、辺ＲＬ、ＱＰ、ＱＲは１：１：√２の比で求めます。また問１と同様に△ＱＰＲの高さを求める際は大きい数のまま計算しないで、２√２と√６で計算した方が楽です。
では最後に問３です。
これは立体を把握するのに時間がかかってしまった方も多いかも知れませんね。体積を求める立体はもとの立方体の手前半分に収まっているので、その半分だけを取り出した図を描いてみました。
辺ＣＤの中点をＴ、辺ＥＦの中点をＵとしています。求める立体の体積はこの「立方体の半分」から「ＣＲＱ－ＴＳＰ」「Ｆ－ＰＱＧ」「Ｆ－ＳＢＲ」「Ｆ－ＳＵＰ」の４つの立体を引いたものです。
あとは式を立てるだけなのですが、立体「ＣＲＱ－ＴＳＰ」は向きを変えると右側の図のような立体となり、入試問題でよく見る立体です。相似比が１：２である立体の体積比は１：８（比の３乗）という性質を使えば三角錐の体積を２つ求める手間が省けます。
式の中では「Ｆ－ＰＱＧ」と「Ｆ－ＳＢＲ」は同じサイズなのでまとめて×２で書いてあります。一見面倒そうですが、数字はそれほどややこしくなく、答えもキレイに出てきましたね。
＜総評＞最後の問題は図形が苦手な生徒には把握が難しいでしょうか。問題としては良問だと思います。また全体を通してこの年の問題は例年よりやや難易度が低いかも知れませんね。