平成22年度都立日比谷高等学校自校作成問題（都立日比谷高等学校作成）第3問
２次関数と図形の融合問題です。最も出題頻度の高い問題といえますね。面積の２等分も頻出ですがレベルはやや高いです。
それでは問１から見ていきましょう。
まずは問題文からどういう状況なのかをしっかり読み取って下さい。図のようにＰＱがx軸に平行になっていること（y軸に垂直になっていること）がわかれば、ＳＲが比でいうと２になっていることがわかりますね。
あとは解答の流れの通りなのですが、なぜ点Ｑの座標で式を立てて、bの式にしたかというと、もちろん点Ｐでaの式でも良かったのですが、位置的にaの値は負の数で出てきますよね。でももしaが-aと置かれていたら、aの値は正の数で出てきます。そういう事ってほんの少しですが頭の負担になりミスになる可能性もある訳です。
なので正の数で出てきそうなbの式を立てることにしました。高校レベルのもう少しややこしい図に対応する為にも、そういう工夫を意識しながら練習するといいと思いますよ。
では次に問２です。
学校発表の解答のようにまず直線ＰＱの式を求めてから、ＰＱの中点と点Ｒの距離を求め三角形の面積を出すというのがスタンダードな解法だと思いますが、今回は大きい台形から小さい台形を２つ引くというアプローチで解いてみました。
Ｐ、Ｑ、Ｒをそれぞれaで表し、台形から２つの台形を引く式をまとめられる部分はまとめて書いてあります。（今回はaの値を求める訳ではないのでbではなくaにしました。）
こういう式の（ ）の２乗の展開はなるべく後回しにしないと駄目ですよ。後回しにするほど手間もミスも減ります。
では最後に問３です。
これは等積変形という非常によく見るパターンの問題で、日比谷を目指す方なら似たような問題を何問も解いたことがあると思います。平行な直線の式を求めたり、その直線とある直線の交点を求めたりとおおよその流れは頭に浮かぶのではないでしょうか。
ただこの問題に関しては、もちろんそのように解いてもいいのですが、解答に示したように図だけで点Ｓの座標を求めた方が速く解けます。面積比を書いた三角形を見て下さい。
まずＰＱ上の各点までの長さの比は、各点からx軸に下した垂線の足の座標で考えられます。（平行線と線分の比）あとは面積の比を順に追って行って下さい。３番目の三角形が一番重要で、これからＰＳ：ＳＲ＝ＰＮ：ＮＭ＝２：１がわかります。
ＰＲは長さが２なので点Ｓの座標はすぐにわかりますよね。この点Ｓの座標を求める為に直線ＰＱの式を求めて、ＭＲの式を求めて、Ｎを通りＭＲに平行な直線の式を求めて、その式とＰＲの交点を求めていたら、かなりの時間がかかってしまいます。
計算にスピードと正確性があれば、それでも問題ないですが、図だけでＰＳ：ＳＲ＝２：１まで辿り着けたらだいぶ時間が稼げそうですね。
＜総評＞最後の問題が分かれ目になりそうですね。おそらく日比谷に挑戦できるレベルの生徒なら、時間があればどの子でも答えには辿り着けると思います。難易度は高いですがよく見る問題と言える内容です。こういうアプローチを見て「凄い！なるほど！そう見れば速く解けるのか。」と印象に残って次回からそれを活かせれば、どんどん理解が深まると思います。