平成22年度都立日比谷高等学校自校作成問題（都立日比谷高等学校作成）第2問
作図、説明問題を含む平面図形の問題です。正六角形ということで正三角形やその半分の２：１：√３の直角三角形が鍵になります。
それでは問１から見ていきましょう。
これは簡単な問題なので学校発表の解答をそのまま載せておきます。３０度の作図をする為に最初に正三角形を作図し、それによって作られた６０度を２等分する作図をした、ということです。この問題は落とせないですよ。
では次に問２です。
この五角形のままでは面積は考えたくないですね。形が面倒です。なので、この手の問題でよくやることなのですが、面積の一部を移動して考えやすくします。
この「移動して考えやすくする」という手段を一度でも経験していることが大事ですね。その事を意識しているからこそ、合同を見抜けて解答のような流れとなります。
③の角の等しさを示す手順は学校発表の解答と少し異なりますが、大丈夫ですか。もちろんどちらでも正解になるので、わかりやすい方を参考にすればよいと思います。
では最後に問３です。
まず図ですが、これは解答として載せる為にかなり丁寧に描きましたが、実際はフリーハンドでもっとラフでいいんですよ。位置関係や状況が捉えられれば十分です。
要するに求める図形は十二角形で、それは正六角形から△ＡＪＩを１２個引けばいいんだな、とわかればよいのです。
あとは長さを求める際に、三平方の定理を使って２乗がたくさん出てきてしまう計算を避けて、２：１：√３という比で簡単に速く答えを求めましょう。面倒な計算はミスも出やすいのこういう工夫はとても大事ですよ。
別解というほどのものでもないですが、「△ＡＪＩを１２個」としたところを、２つ１組でくっつけて正三角形６個にしてもいいですし、さらに正三角形６個なら小さい正六角形が１個できるので、相似な２つの正六角形の面積比で考えても面白いですね。
もし私の塾の生徒が正六角形２つの面積比で求めたりしたら、ちょっと感動しますね。スピードは大して変らないと思いますが、その発想を褒めてあげたいです。
＜総評＞どうでしょう。はっきり言って例年に比べると難易度がやや低いような気がします。この年は数学の平均点が高かったのではないでしょうか。それだけにきっちり取れる所は取っておく必要がありますね。