平成21年度都立日比谷高等学校自校作成問題（都立日比谷高等学校作成）第4問
空間図形の問題です。立体をしっかりイメージできるか、どの辺とどの面が垂直になっているかしっかり読み取れるかが鍵になります。
それでは問１から見ていきましょう。
この手の問題は定石があります。立体のまま最短距離を考えるのは、難しいですよね。なので展開図で考えます。展開図で考えれば最短距離＝直線（まっすぐ）ですからね。解答の頂点の文字をよく見てどのように展開しているか、しっかり意識して下さい。
点Ｑが長方形ＫＢＧＪの対角線の交点であることが見抜ければすぐにＤＱ：ＱＣ＝３：９＝１：３と出せますし、解答のように三角形の相似を考えてＡＰなどを求めても、それほど時間をかけずに答えに辿り着けるでしょう。
参考までに最短距離を直線で考える例を２つ挙げておきます。
上の図は点Ａから一度直線で跳ね返って点Ｂまで行くときの最短距離。下の図は直方体の面沿いにある頂点からある頂点まで行くときの最短距離です。
では次に問２です。
まずはこの四面体がしっかり描けて認識できるか。そこが問題です。空間図形が苦手な方はまず絵をたくさん描いてみましょう。立方体、直方体、三角錐、円錐などよく出てくる立体の見取り図をたくさん描いてみる。そうすることで立体のイメージ力もついてくると思います。
問題を一通り読んで線を引いてみると、点ＢとＫを結んだ線が足りないのがわかると思います。なので自分で書き足してから考え始めましょう。問題としてはよく見るパターンの問題で「立体の高さを求める。その為に底面を、体積がすぐに求められる他の面に置き換えて考える。」というものです。
立体をＢ－ＫＥＪと見れば高さはＡＢの６ｃｍとなる（面ＫＥＩＪと面ＡＥＦＢは垂直）ので、すぐに体積が求められますね。問題は△ＢＪＥの面積です。この問題はここが一番難しいでしょう。
解答にはわかりやすくなるように△ＢＪＥだけ取り出しました。そしてすぐにわかる辺の長さや点ＤがＪＥの中点になっていることを記しておきます。ＪＥやＤＥは１：１：√２の比を使って簡単に出せたと思いますが、ＢＥも２：１：√５という比で簡単に求められます。
２：１：√３と混同しやすいので全ての生徒に教える訳ではありませんが、直角三角形の斜辺以外の２辺の比が２：１になっている時、斜辺は比でいうと√５になっています。この他にも３：４：５や５：１２：１３など余裕があったら覚えておくといいと思います。
ＢＥやＪＥ、ＤＥがわかった時点でＢＤもＢＥと同じ長さだなと気付ければ、大したものです。二等辺三角形なら頂点から底辺に下ろした垂線は底辺を二等分するので、解答のように高さが求められ正解へぐっと近づきます。
学校発表の解答もこのすすめ方をしていますが、ではこの二等辺三角形に気付かなかったら、この問題は絶対に解けないのか、そんなことはありません。ちょっと面倒な計算になりますが、ＢＤの存在に気付かずにＢＪの長さを求めたとしても△ＢＪＥの面積は求められます。
参考までにその場合の解き方を紹介しておきます。
途中の√の中の（ ）内が空欄になっているのは上の式の（ ）と同じ内容だからです。答案に書くときはやってはいけませんが、自分が計算するときはこういう省略をして時間を稼ぎます。また、４５×７２や１８×１８も最後まで計算せずに因数に９が二つ含まれていることを利用して簡単に引き算をしています。
√を含む乗法公式や４次の方程式が一時的に出てきますが、最終的には簡単な２次方程式になりました。日比谷を目指す生徒ならこれくらいの計算はこなせるのではないでしょうか。△ＢＪＥの面積さえ求められれば、あとは同じ解き方です。大事なのは答えに辿り着くこと。スマートでなくてもいいんですよ。（テストなので時間はあまりかけられませんが。）
それでは、最後に問３です。
さて、問２より見づらい立体が出てきました。ちゃんと認識できますか。ぱっと見ただけでもＫから底面に下ろした垂線の長さ（高さ）は求めにくそうですね。なので他の方法を考えていきます。
底面が平行四辺形であること、正方形ＫＥＩＪの面と直方体の６ｃｍの辺が垂直になっていることに気付けば解答のような流れも理解できると思います。
この「気付く」とか「見抜く」というのはやはり経験がものを言います。問題を解くというのももちろん大事ですが、家にあるサイコロなどを眺めてイメージするというのもいい経験になると思います。
最後に式の（ ）の部分は三角形の面積ですが、△ＫＤＪは正方形の１／４の大きさなのでこのように書きました。対角線が６√２でその半分の３√２×３√２×１／２とやってももちろん大丈夫ですが、頭を柔らかくしてみれば簡単にわかりますよね。
特に難問を解いているときは、問題にのめり込んでしまって視野がせまくなりがちです。一度、深呼吸をして問題を見直すと突然何かに気付くなんてこともありますよ。
＜総評＞レベルは高いですが、変なクセのない良問ではないでしょうか。最後の問題なので、どれだけ時間を残して辿り着けるかにもよりますが、焦らず解きたいですね。