平成23年度都立日比谷高等学校自校作成問題（都立日比谷高等学校作成）第2問
平面図形の問題です。円周角など基本を押さえつつ、証明問題にまで発展させるよくできた問題です。
それでは見ていきましょう。
角度の問題ですが、すぐに解けましたか？あるレベルを超えるとよく出てくるのですが、「１つ１つの角度はわからないけれど、２つまとめると角度がわかる」というパターンの問題ですね。
少しやさしく解説してみましょう。
下にも半円を足して円にしてみました。直径ＡＢの円周角である角ＡＦＢは90度。これはいいですね。すると印の付いている等しい弧を１つずつ取った弧の円周角である角ＤＦＥは45度になります。弧ＤＥの長さは弧ＡＢの長さの半分ですからね。
このように１つ１つの円周角、角ＤＦＣも角ＣＦＥも何度かはわからないが、２つの合計は45度だとわかる。こういうアプローチをすることもあるので覚えておきましょう。
そういう理屈で元の図を見てもらえれば、角ＤＣＡ＋角ＥＣＢが45度なので答えが135度だということがわかります。
では続いて問２です。
面積を求める問題と証明問題ですね。等しい弧や辺がたくさんあります。感覚だけで「こことここは等しいだろう」というのはダメですよ、しっかり根拠を持って見抜いて下さい。
とりあえず答えだけ書きましたが、みなさんはどちらで解いたでしょうか。また、√の値を有理化しないで式を立てています。答えは当然有理化しますが、途中式はいちいち有理化しない方が計算が早いです。
それではまず左側の式から解説しましょう。等積変形や１：１：√２の直角三角形を見抜くオーソドックスな解き方です。
まず左の図を見てください。ＤＥ//ＡＢなので△ＢＥＤと△ＯＥＤの面積は等しいです。（平行になる理由は等しい弧に対する円周角は等しくなるという性質を利用すれば錯角が等しいことがわかるからです。）そして右の図。△ＯＥＤは直角二等辺三角形でありＯＢ、ＯＥ、ＯＤはすべて半径なので同じ長さであることがわかると思います。
ここまで見抜ければあとは１：１：√２の辺の比を使えば答えまで辿り着くでしょう。△ＣＯＢも直角二等辺三角形です。
次に別解です。
△ＢＥＤは移動したくない、ＢＣ＝ＤＥもすぐに見抜けた。というなら、こっちでも良いかも知れません。弧の長さはどれも半円の4分の1なのでその中心角は45度になります。するとまた１：１：√２の直角三角形が活躍しますね。これを利用してＯＧの長さを求めれば△ＢＥＤの面積が求まります。
では最後に証明問題です。
苦手な人には三角形の位置が微妙に感じて嫌かも知れませんね。でも円周角の性質をしっかり当てはめればそれほど難しくはないでしょう。平行を見抜くひと手間はありますが、このレベルの学校の入試なら当然と言えるでしょう。ちなみに②の所に「平行線の同位角」と書いていますが、「平行線の」は省略しちゃだめですよ。同位角も錯角もただの位置関係の用語なので平行線でなくても使います。「平行線の」同位角/錯角でないと等しくもなんともないので注意しましょう。
平行を示さない別解としては、先に△ＡＱＰと△ＢＱＲの相似を証明して角ＡＰＱ＝角ＢＲＱ、対頂角は等しいので角ＢＲＱ＝角ＣＲＥ、よって角ＡＰＱ＝角ＣＲＥという流れを利用してもいいですね。
＜総評＞難易度的には例年通りで特に癖のある問題もなく良問だと思います。ここでは差が付かないかも知れないので、スピードも重要になりますね。