平成24年度都立日比谷高等学校自校作成問題（都立日比谷高等学校作成）第4問
動点を扱う空間図形の問題です。点Ｒだけ上からスタートする事で、少し難しく感じるかも知れませんね。
それでは問１から見ていきましょう。
日比谷を受験する生徒ならこれは確実に取りたいです。線分ＱＥとＲＦの長さが等しくなった時が平行ですね。ＲＦをうっかり3xとしてしまわないように！
続いて問２です。
まず長さを記入してみると左側の図のように点Ｐと点Ｒの高さが同じになっていることに気付くと思います。さらに1:1:√2の三角形なども見つかり、三角形ＰＱＲの三辺の長さはそれほど労せず出せると思います。あとは三角形ＰＱＲだけ取り出して考えてみれば三平方の定理を使って高さも求められるので、面積まで辿り着けるでしょう。これも是非取っておきたい問題です。
では、最後に問３です。
まず図を見てください。上下どちらの立体もこのような形をしており、このままでは体積が求められないので、分けて考える必要がありますね。そこでどのように分けるかですが、これが大きな分かれ道になります。上のように2つに分けてしまうと、点Ｒが点Ｑよりも低い位置に来たときにまた別の考え方をしなくてはいけなくなり、とても面倒です。下のように分ければ点Ｑと点Ｒの高さが逆転しても同じですよね。この分け方に辿り着ければあとは計算だけです。
立体Ｐ－ＱＥＦＲの高さが点ＤからＥＦに引いた垂線の長さと同じであるという点は見抜けましたか？元の立体が正三角柱なので底面と側面は垂直ですね。だから点Ｐから底面ＱＥＦＲに下ろした垂線の長さも等しくなるのです。
式では、こちらのコラムでも数回紹介している正三角形の面積の求め方を使っています。少し計算が速く簡単になります。
＜総評＞合否の分岐点はやはり問３でしょうか。たくさんの問題を解いてきた経験が活きる問題だったかも知れません。